高数证明题
1.介值定理、零点定理与罗尔定理
注：以下将==变号零点==简称为零点，不要将零点理解为临界点（未变号零点）。
使用条件：
-
开区间（半开也算）并且两个假定端点的极限值异号（正负无穷处的极限也算假定的端点） $\rightarrow$ 零点定理（这里其实是用端点极限值的正负代表假定端点的正负，要使用==极限的保号性==）
-
闭区间：
- 两端点值异号 $\rightarrow$ 零点定理（证明存在函数=0）
- ==原函数==端点值相等 $\rightarrow$ 罗尔定理（证明存在导函数=0）
- 函数端点值不相等，函数可以设或者求出最大最小值，$f(\xi)=\mu$，且可以得到$m<\mu<M$ $\rightarrow$ 介值定理（证明存在函数=$\mu$）
注意：
-
零点定理中如果题目没给点的正负，但是给了这个函数的具体方程，那么就要尽可能地求特殊点的正负，不存在的特殊点也要去求它的极限的正负。
-
零点定理或者罗尔定理可以得到零点数量下界，即函数零点至少有几个，分析函数单调性或者使用罗尔定理推论得到零点数量上界，即函数零点最多有几个
-
罗尔定理推论求零点数量上界：
-
若$f(x)$至少有k个根，则$f^{(n)}(x)$至少有k-n个根（原->导）
-
若$f^{(n)}(x)$至多有k个根，则$f(x)$至多有k+n个根（导->原）（求上界用这个）
-
已经求得零点，但是不知道它是不是变号零点：使用第一充分条件（费马引理的应用），或者使用第二充分条件（对当前函数再求一次导，该点代入后，不等于0则为变号零点）
-
函数极限的==局部保号性==的使用：比如，$\lim_\limits{x\rightarrow x_0} f(x)>0$，由保号性知，在$x_0$的足够小的去心领域中的符号都是一致的，即$当x\in{U^0(x_0)}时，f(x)>0$
费马引理与罗尔定理
使用条件：
- 两者都适用于证明存在$f'(x)=0$的情况
- 题目中给出不等关系 $\rightarrow$ 费马引理（一般就是直接用第一充分条件）
- 题目中给出相等关系 $\rightarrow$ 罗尔定理
注意：
- 第一充分条件的使用（区别于零点定理）：前提是函数在区间A连续，且在区间B可导。如果$f(x_0)\cdot f(x_1)<0$，那么$f(x)在x_0和x_1中至少有一个零点$。但是这个理论与零点定理不相同，因为零点定理需要函数连续，在此题中就是需要$f'(x)$是连续的，但实际上在条件中并没有。