收敛数列性质
数列定义 一般数列性质
有界性
- 单调有界收敛定理（收敛<==>单调有界）
与子数列关系
- 子列收敛定理（收敛==>所有子数列收敛且极限相等）
- 拉链收敛定理（收敛<==>偶数项、奇数项子数列收敛且极限相等）
被数列相夹（三个数列的关系）
- 夹逼定理（收敛<==被两个数列相夹+无穷项之后，趋向于同一个极限值）
被区间相夹（两个数列的关系）
- 闭区间套定理（无穷项区间套娃+无穷次套娃之后闭区间长度趋于0<==>最后闭区间两端同时趋近于唯一的点x0）
- 设有无穷多个闭区间$[a_n,b_n]$，若满足以下条件：
- $[a_n+1，b_n+1]\sub[a_n，b_n]$（即后一个闭区间都在前一个闭区间之内）；
- $\lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$（即只要n充分大，闭区间的长度与0就可以接近到预先给定的程度）
- 结论：$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=x_0$
其他
- cauchy收敛原理（收敛<==>足够大的两项的差值趋于0<==>n和m充分大时，$x_n$与$x_m$的距离趋于0）
- stolz定理：数列的洛必达法则。
- $\frac{*}{\infty}$型：$有a_n和b_n，且b_n极限为\infty$
- 结论：若极限$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l$,则$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=l$
- $\frac{0}{0}$型：$有a_n和b_n，且a_n和b_n极限为0$
- 结论：同上
- Levi收敛原理
一般数列性质
数列定义 使用<收敛数列性质>中的必要条件来判断收敛性
有界性
确界存在定理（单侧有界<==>单侧有确界） 聚点定理（有界==(同时有上下界时)==<==>存在收敛子列）
其他
有限覆盖定理
解题方法
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已知极限=a的证明：数列定义
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判断数列收敛：单调有界原理、子列收敛定理、拉链收敛定理、cauchy收敛原理、夹逼定理、闭区间套定理
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判断数列发散：反证法、反向单调有界定理（数列无界或不单调）、反向子列收敛定理（子数列发散或子数列极限不一致）、反向拉链收敛定理、反向柯西收敛定理
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已知收敛，求数列极限：设a(n)极限为A，数列等式两边同时取lim，构成A的方程，解方程即可；夹逼定理；stolz定理；定积分定义