有理分式的积分求解

有理分式的积分求解分类

• 非有理分式求解

• 组合积分法（三角型）

• 非有理分式==>有理分式

• 含根式：根式替换法、欧拉代换

• 含三角：以切表弦公式法

• 有理分式求解

• 无法因式分解

  • 减少分母次数的技巧：倒代法

  • 真分数：多项式除法、分离常数法

  • 假分数：A凑B导数形式、分母凑完全平方形式、组合积分法（有理分式型）

  • A凑B导数形式：常见有分子凑分母导数形式、分式凑反三角函数导数形式

  • 分母凑完全平方形式：用待定系数凑形如$(x+a)^2+b$的形式，进而直接凑x+a的微分

• 因式分解+拆解为多项

  • 裂项法：分母因式之和/差为常数时可用。

  • 一般解法：待定系数法+通分/代入

  • 代入法：代入不同的x值形成等式，解出待定系数

  • 待定系数法得到的分母含一次项：待定系数法+部分分式展开法(部分分式展开法讲解)

  • 一次项指因式括号内的最高次项

  • 对于剩余的二次项，仍然可以使用通分/代入法

以下部分为原理

有理分式分类

设分子、分母最高次项分别为m、n

1.m>n：分式为假分数时，需要用多项式除法、待定系数法化成m<n的情形（真分数）

2.m=n：分式为假分数时，需要用分离常数法、待定系数法化成m<n的情形（真分数）

3.m<n：分式为真分数时，可分为以下几种情形：

1.分子是零次项，分母是一次项

a.分母能分解为几项简单因式之积，最终将整个分式拆成几个简单分式，这样就可以分别几个简单分式求积分。

b.分母能配方成平方差，这样就可以通过平方差公式逆用来分解因式，分解后就能对这两个简单分式求积分。

c.分母能配方成平方和，将分式需要化成arcsin、arccos、arctan、arccot等导数的样子，再利用凑微分法求解。

d.通用方法，只要能分母能凑出平方差或者平方和，就可以利用三角换元法处理。

2.分子是一次项，分母是二次项

1. 需要将分子化成分母导数的样子，通常这样做会产生两个分式，其中一个分式用凑微分法求解，而另一个分式的分子是零次项，回到前述情形（1）。

2. 化不了就直接回到情形（1）。

3.分子是0~n-2次项，分母是n次项

1. 直接使用待定系数法或部分分式展开法，参考<分解分母的步骤>，回到情形（1）。
2. 分解不了就直接回到情形（1）。

4.分子是n-1次项，分母是n次项

1. 需要将分子化成分母导数的样子，通常这样做会产生两个分式，其中一个分式用凑微分法求解，而另一个分式的分子是0~n-2次项，回到前述情形（3）。

2. 化不了就直接回到情形（1）。

5.总结（重点）：

1. 先考虑分子凑分母的导数，特别是分母比分子高一次的时候【三角函数类型积分也能这样用】
2. （新增）分子能凑分母的整体（比如分子加减一个x），将分式分成两个小分式
3. 分母能直接分解为多个因式之积（只有一个因式时不行，至少两个），先分解为几个因式相乘，再考虑用部分分式展开法+待定系数法，将分式强行拆成几个小分式。
4. 分母能化为平方差。
5. 分母能化为平方和。
6. （新增）组合积分法【互导和自导类型积分，因此三角函数类型积分也能用】

有理分式的其他技巧

以下情况可以使用技巧： 1. 有一些分式并不是有理分式，想经过一些处理之后变为有理分式。 2. 有一些分式的分母次数很高，想要减小分母的次数。

1.分式中含一次根式的情形——根式替换法

根式替换法实质上是第二类换元法，无论根式次数有多少，只要根式内==仅有一次函数，一次函数分式==都可以：都令t=该根式，反解出x和dx，代入化简即可。

如果存在多个一次根式，且根式内部式子是一样的，只是根式的次数不一样，那么t=该根式，但是根式的次数是几个根式的最小公倍数，然后反解出x和dx，代入化简即可。

2.分式中含二次根式的情形——欧拉替换法

根号下为二次函数且$\Delta=0$时可使用，以下用$f(x)$表示这个二次函数。

下面是三种情况：

1. $a>0时，令\sqrt {f(x)}=\pm\sqrt ax+t$
2. $c>0时，令\sqrt {f(x)}=tx\pm \sqrt c$
3. 不满足1、2，则必有$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)，令\sqrt{f(x)}=t(x-\alpha)$

其中包含待定系数t，通过解等式可以得到t的式子，然后直接换元即可。

3.分式中含三角函数的情形——以切表弦公式法

以切表弦公式法实质上也是第二类换元法。

以切表弦公式，即万能公式，将其中的所有的$sin\alpha、cos\alpha、tan\alpha$化成$tan\frac{\alpha}{2}$。 再利用第二类换元法，即令$t=tan\frac{\alpha}{2}$，这样处理之后，分式将不再含有三角函数。

4.分式中分母次数高的情形——倒代法

倒代法实质上还是第二类换元法。适用于消去一次分母的积分变量x

令$x=\frac{1}{t}$，反解出t，代入化简，可以发现分母的次数减小了。

5.分子分母次数都高且无法分解因式——上下同除法

比如该分式分子是$x^2$（其他都是常数），分子是$x^2和x^4$（其他都是常数），那么分子分母可以同除$x^2$，使得整个分式要么是常数，要么是$\frac{1}{x^2}$，令$t=\frac{1}{x^2}$即可

6.组合积分法——三角函数型

适用于互导和自导类型的被积函数。 令I积分=待求积分，现在要去构造J积分，J积分的分母和I积分一样，于是现在要去构造J积分的分子。

1. 组合约分母：将IJ积分进行四则计算，组合后，分子分母可以约掉一部分，使得被积函数是常数，或者组合后的积分是已知原函数的积分。
2. 组合凑微分：将IJ积分进行四则计算，使得组合后被积函数的分子是分母的导数。（所以使用组合积分法时可以先去求分母的导数）
3. 以上两个步骤可以形成两个方程，解方程即可。

7.组合积分法——有理分式型（不推荐）

适用于互导和自导类型的被积函数。 令I积分=待求积分，现在要去构造J积分，J积分的分母和I积分一样，于是现在要去构造J积分的分子。

1. 组合约因式：将IJ积分进行四则计算，组合后，分母（可以被分解因式）可以约掉其他因式，只保留一个因式，使得被积函数是常数，或者组合后的积分是已知原函数的积分。
2. 重复1：即不断组合，每次只保留不同的因式，一般来说，有几个因式就可以形成几个方程。
3. 上面几个步骤形成了几个方程，运用克拉默法则（线代中学习）解出。

8.分式有很多ln时

利用$\frac{1}{x}$可以凑得微分$\ln |x|$的性质，凑微分解题。

注意：一定要注意ln里是|x|而不是x

9. 分式中根号下是几个因式相乘时——二项式积分

通过化简，让根式因式的指数相同，转换为根式替换法。

如$\int\frac{dx}{\sqrt[2]{(1+x)(x-5)^3}}$，将其化成$\int \sqrt[2]\frac{1+x}{(x-5)^3}dx$，这样就化为了$\int \sqrt[2]\frac{1+x}{(x-5)}\cdot \frac{1}{x-5}dx$，再$令t=\sqrt[2]\frac{1+x}{(x-5)}$即可。

分解分母的步骤

分解分母的步骤： 前提是这个分母必须能被分解因式。也就是说分母中每遇到一个n次因式，都需要拆成n项。

例：若分母分解后是$(x^2-5)(x-1)^2$，那么原式可以拆为3项相加，它们的分母为$(x^2-5)、(x-1)、(x-1)^2$。

使用待定系数法或部分分式展开法假设拆开后每一项简单分式的分子，再联立方程求分子。